1. Matematika : Apakah itu?
Menurut Kamus Besar Bahasa
Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara
bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah
mengenai bilangan”. Kalimat ini bukan
rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam
kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan,
misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.
Dalam naskah ini matematika
didefinisikan sebagai ilmu tentang
pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah
pernyataan adalah benar. Dalam
matematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi
dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan
pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa
saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang pantas
diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja,
bilangan. Ternyata ada aneka ragam
bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa,
yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak
hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer.
Obyek menarik lain terdapat
dalam geometri, misalnya titik,
garis, bidang, serta bentuk yang dapat muncul daripadanya, seperti segitiga,
lingkaran, elips, kubus, bola, kerucut, piramida, dan lain-lain. Sangatlah
terkenal pernyataan Pythagoras, bahwa dalam segitiga siku-siku, luas bujur
sangkar pada hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah luas bujur sangkar
kedua sisi lainnya.
Dalam studi tentang
bentuk-bentuk dalam geometri, muncul secara alami konsep-konsep seperti panjang,
luas, isi, berat dan titik berat.
Daripadanya berkembang konsep tentang satuan, besaran dan fungsi.
Obyek menarik lain bagi para
matematikawan adalah himpunan, serta
hubungan antara berbagai himpunan. Studi
mengenai hal ini telah menghasilkan aneka manfaat praktis, serta mengarahkan
matematikawan kepada aneka persoalan sangat mendasar, bahkan sering bersifat
abstrak, mengenai matematika serta pondasi yang diatasnya terdapat bangunan
yang sekarang disebut matematika. Apapun
yang dipelajari dan dilakukan, semua kembali kepada usaha untuk membuat
sekurang-kurangnya sebuah pernyataan yang dapat dipertanggung-jawabkan.
Pernyataan akan diterima
sebagai pernyataan yang benar, jika kepadanya dapat diberikan
(sekurang-kurangnya) sebuah bukti
yang meyakinkan, yaitu argumentasi atau deretan kalimat yang rapi, runtut dan
masuk akal, yang daripadanya tidak ada keragu-raguan lagi mengenai kebenaran
dari teorema yang dibahas.
Pernyataan yang kebenarannya
tidak pernah diragukan, namun tidak pernah diberikan buktinya, disebut aksioma. Pernyataan yang kebenarannya
telah dijamin sekurang-kurangnya oleh sebuah bukti meyakinkan disebut teorema
atau lemma. Beda antara teorema dan lemma tidak perlu
dibahas disini. Misalnya, pada bagian awal dari buku klasiknya yang berjudul
“Grundlage der Geometrie”, David Hilbert menuliskan aksioma-aksioma tentang
titik, garis dan bidang. Dari
aksioma-aksioma itu ia berhasil membuktikan semua teorema penting dalam
geometri. – Itulah contoh konkrit sebuah
matematika.
Matematika
dan logika. Matematika biasanya
diletakkan dalam kategori yang sama dengan logika,
yang merupakan cabang dari filsafat. Filsafat
itu sendiri dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diterangkan sebagai “pengetahuan
dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakekat segala yang ada, sebab, asal
dan hukumnya” -- scientia rerum per
causas ultimas. Menurut Bertrand
Russel, logika adalah masa kakak-kanak dari matematika.
Matematika
dan fisika. Matematika juga biasanya
diletakkan dalam kategori yang sama dengan fisika,
yang masa kanak-kanaknya disebut kosmologi, yang merupakan cabang dari filsafat
juga. Dalam fisika dipelajari obyek alam
(benda), dan atas obyek itu dicoba dibuat pernyataan-pernyataan yang benar,
yang sekarang biasa disebut hukum-hukum alam atau hukum-hukum fisika. (Dalam naskah ini kimia diperlakukan sebagai bagian yang tak terpisahkan dari
fisika).
Adakah beda nyata antara
teorema (dalam matematika) dan hukum (dalam fisika)? Salah satu perbedaan adalah dalam pembuktian
atas kebenarannya. Teorema dibuktikan melalui argumentasi, sedang hukum dalam
fisika dibuktikan melalui eksperimen atau pengamatan.
Perbedaan lain nyata dalam
sifat penelitian yang dilakukan atas teorema dan hukum. Hukum dikaji, dan dicoba dirumuskan kembali,
dalam konteks gejala-gejala alam yang disadari, atau sekurang-kurangnya
dicurigai, mengandung fakta baru, agar hukum dapat dirumuskan kembali menjadi
bersifat mencakup fakta baru tersebut serta memiliki ciri universal, yaitu
berlaku dimana saja dan kapan saja. Penelitian umumnya dikaji dalam pola
pemikiran yang induktif.
Teorema pun dikaji dengan
sasaran serupa. Tetapi teorema sering diungkapkan berdasarkan n buah asumsi:
“jika n buah asumsi A1, A2, ... An ini benar,
maka pernyataan P adalah benar”. Apakah cacah asumsi dapat dikurangi, sehingga
dapat dirumuskan teorema tanpa asumsi (misalnya)? Jika teorema bertolak dari sebuah asumsi yang
sangat ketat, dapatkah asumsi yang ketat itu diperlunak, tanpa mengubah materi
dalam teorema? -- Penelitian umumnya
bersifat kajian deduktif dan diarahkan kepada pembentukan sistem matematika
yang utuh: logis, konsisten dan efisen (bermanfaat).
2. Matematika : sarana pemodelan bagi para
teknisi
Dalam naskah ini yang
dimaksudkan dengan para teknisi adalah mereka yang hidup dengan melakukan kegiatan
ada dalam bidang ilmu-ilmu teknik, yaitu mereka perhatiannya adalah kepada
upaya penyelesaian atas persoalan-persoalan nyata dalam masyarakat. Persoalan itu dapat berupa perencanaan
bangunan gedung, atau pengadaan prasarana telekomunikasi yang menjangkau
sejumlah penghuni dalam sebuah kawasan. Salah satu persoalan nyata dewasa ini
adalah nilai rupiah. Langkah-langkah tepat apakah yang harus dilakukan agar
ekonomi nasional tidak terperosok dalam krisis berkepanjangan? Tentulah ini
persoalan bagi para teknisi di bidang ekonomi. Persoalan skala besar aktual
lain dewasa ini adalah terbentuknya himpunan asap yang merisaukan di hampir
sebagian besar kawasan hutan Sumatera dan Kalimantan, yang telah menimbulkan
aneka masalah nyata di bidang kesehatan,
sosial, ekonomi, hukum, politik dalam negeri dan hubungan internasional.
Bagi teknisi di bidang
tertentu (misal bidang penegakan hukum), matematika boleh jadi tidak jelas
manfaatnya dalam upaya penyelesaian persoalan skala besar tersebut. Tetapi bagi
teknisi di bidang lain (misal pengendalian menuju pelestarian kualitas
lingkungan) matematika pasti ada manfaatnya.
Dalam hal terakhir ini, berlakulah diktum atau nasehat, bahwa
“mathematics is a substitute to thinking”.
Matematika berperan sebagai pisau untuk membuat analisis yang tajam
menuju kepada pemecahan persoalan yang diinginkan. Dalam konteks itu, seperti diungkapkan oleh
Profesor Adhi Susanto, matematika mengisi aspek analitika bidang ilmu-ilmu
teknik.
Dihadapkan kepada persoalan
nyata dalam masyarakat, apakah yang dapat dikerjakan oleh para teknisi? Kiranya dapat dibayangkan bahwa para teknisi
itu akan merumuskan model bagi
persoalan yang akan dipecahkan. Yang
disebut model itu sesungguhnya juga berupa pernyataan tentang persoalan yang
dihadapi. Hal itu dikerjakan, antara lain dengan mencermati lingkup
persoalannya, membuat kategori berdasarkan bidang kajian dan ilmu, melakukan
pemilahan atas variabel serta parameter mana yang primer dan mana yang sifatnya
sekunder, serta menetapkan suatu model, yang dinilai memiliki cukup sederhana
untuk analisis selanjutnya, tetapi sekaligus cukup realistis untuk
menggambarkan keadaan dalam dunia nyata.
“Great engineering is simple engineering”. Dalam seluruh proses pemodelan ini matematika
(logika) membantu meratakan jalan bagi perumusan model yang diinginkan.
Ada tiga butir harus
diperhatikan:
1. hukum-hukum alam
yang berlaku;
2. informasi serta
pengalaman di lapangan;
3. sasaran akhir
yang ingin dicapai.
Mengingat hukum-hukum alam
umumnya diungkapkan dalam pernyataan yang bersifat pasti serta tak mengandung
keragu-raguan akan sebab dan akibatnya, maka model yang diperoleh daripadanya
juga bersifat deterministik. Model ini
sering berupa persamaan matematika yang dijabarkan dari azas-azas kekekalan
energi, massa dan momentum. Model ini bersifat deterministik. Sebaliknya, ketidak-lengkapan informasi mengenai
aspek-aspek tertentu dari realitas, atau tidak tersedianya rumusan yang memadai
untuk menyatakan hukum alam yang berlaku bagi realitas tersebut sering
mendorong pembentukan model yang bersifat non-deterministik. Model jenis ini sering dikembangkan dengan
menggunakan konsep peluang atau
probabilitas, namun tidak tertutup kemungkinan model itu semata-mata bersifat heuristik atau ad-hoc.
Model juga dapat
diklasifikasikan sebagai berbasis
persamaan, jika persamaan itu dijabarkan dari hukum-hukum alam, atau
diperoleh dalam bentuk persamaan regresi yang diangkat dari pengamatan serta
pengukuran intensif di lapangan. Model ini bersifat obyektif. Sebaliknya model
diklasifikasikan sebagai berbasis
informasi, jika dikembangkan melalui proses penalaran yang adaptif,
menggunakan konsep jaringan syaraf tiruan serta memanfaatkan paradigma logika
fuzi. Model berbasis informasi sering mengandung unsur-unsur yang sifatnya
subyektif, sekurang-kurangnya sampai taraf tertentu, karena tergantung kepada
kematangan wawasan serta pemikiran teknisi pengembang model. Model jenis ini sekarang menjadi makin
populer, antara lain karena sifatnya praktis, “the end justifies the
means”. Model berbasis persamaan untuk
persoalan yang sama dapat tidak memiliki solusi atau memberi solusi yang tidak
ada diterima (misalnya, seharusnya memberi jawab yang positif, tetapi angkanya
ternyata negatif).
Selanjutnya dikenal pula
model yang berbasis operasional. Model jenis ini misalnya memanfaatkan
paradigma antrian yang terdapat dalam aneka proses di alam dan dalam kegiatan
sehari-hari. Model berbasis operasional
secara langsung atau tidak langsung memasukkan waktu sebagai unsur penting
dalam pengkajian atas persoalan yang dihadapi. Dalam pelaksanaannya sering
digunakan paradigma input-output serta konsep fungsi pemindah (“transfer
function”). Secara singkat, model operasional berusaha mensimulasikan proses
yang diperkirakan dapat terjadi.
Dilawankan kepada model operasional, dikenal pula model perencanaan, yang memanfaatkan
paradigma optimisasi dalam penggunaan sumberdaya. Sasaran utama penyelesaian
yang memiliki ciri unik dipandang dari segi kajian atas biaya dan manfaat.
Fakta sebenarnya:
1. Model hanya
mencerminkan akumulasi pengalaman si pengembang model akan persoalan yang
dihadapi dalam konteks situasi dalam dunia nyata. Dalam pengertian ini model hanya merupakan
rumusan lain dari data serta informasi yang dimilikinya.
2. Persoalan itu
sendiri sering bersifat terbuka, dengan cacah jawaban, solusi atau penyelesaian
dapat lebih dari satu, sekalipun solusi unik (satu dan hanya satu solusi)
diinginkan.
3. Model sering
bersifat implisit, -- informasi tersembunyi dibalik relasi-relasi yang terdapat
dalam model. Diungkapkan dalam kalimat
lain, dalam model yang telah dikembangkan, dapat saja informasi yang diinginkan
tidak ada didalamnya.
4.
Oleh karena itu dalam memecahkan persoalan-persoalan
nyata sering harus dilakukan proses iterasi, yaitu proses berulang dengan input
sebuah siklus ditentukan oleh output siklus sebelumnya, sehingga pada akhirnya
diperoleh model yang menjanjikan penyelesaian yang diinginkan.
3. Komputasi : alat, metode dan teori
Komputasi adalah kegiatan
mendapatkan penyelesaian atau solusi
atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Secara matematis pada
umumnya model mengambil bentuk
f(x) = y,
dengan x = himpunan informasi yang tersembunyi
dalam model, berupa besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan agar
persoalan nyata dapat dipecahkan, y = himpunan
data yang tersedia, berupa besaran-besaran yang nilainya telah diketahui,
dan f(.) = operator matematis model tersebut.
Secara singkat dalam komputasi diberikan f(.) serta nilai numeris y,
lakukanlah aktivitas untuk memperoleh nilai numeris x, agar f(x) = y dipenuhi.
Secara matematis, x
diperoleh melalui operasi invers atas y.
Konkritnya,
x = f-1(y),
dengan f-1
operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah
utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f-1 diketahui
atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.
Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak
langsung.
Teknik
komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat
(biasanya sebuah komputer), metode
(yang disebut algoritma) dan teori
(bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan
untuk melaksanakan komputasi tersebut.
Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasi untuk menyelesaikan
suatu persoalan, seorang teknisi harus memperhatikan interaksi dari alat (komputer yang digunakan), metode (yaitu program yang dimiliki),
dan sifat unik dari soal yang
dihadapi, sebab dalam praktek soal-soal memiliki tingkat kesulitan yang
berbeda-beda: ada soal yang relatif
sangat gampang, ada yang sulit, tetapi juga ada soal yang sangat sulit.
Pertama tentang alat. Alat komputasi
paling kuno adalah kertas, potlot dan karet penghapus. Alat komputasi yang
lebih maju adalah kertas, potlot, karet penghapus dan mistar hitung, Selanjutnya mistar hitung diganti dengan
kalkulator (elektronis), yang dapat dibawa di dalam saku. Alat komputasi yang modern adalah komputer, yang biasanya merupakan
peralatan elektronis dengan berbagai kemampuan tertentu: (1) dapat melakukan
operasi penyimpanan, karena dalam komputer ada memori; (2) dapat melakukan
operasi-operasi tertentu atas yang disimpan dalam memori; (3) dapat menyajikan
kembali isi memori itu dalam media penampil menurut format yang dikehendaki
oleh pemakai.
Itu adalah rumusan singkat
tentang apa yang disebut komputer.
Beberapa hal masih harus ditambahkan agar sebuah gambaran yang utuh
diperoleh. Dalam bidang komputer dikenal tiga serangkai data - program - informasi. Dalam bahasa sehari-hari data adalah
fakta tersurat (dalam bentuk catatan
atau tulisan) tentang suatu obyek. Dalam dunia komputer data adalah segala sesuatu yang dapat disimpan dalam memori menurut
format tertentu, dan informasi adalah
segala sesuatu yang ditampilkan oleh komputer dalam sebuah media penampil
tersebut diatas, biasanya sebagai hasil dari sebuah proses komputasi. Bagi teknisi yang berhadapan langsung dengan
persoalan yang nyata, data
menghadirkan fakta tersurat yang secara spesifik ada pada
persoalan itu, dan yang secara khas terpancar sebagai isyarat sebagaimana diterima (ditangkap) oleh teknisi yang sedang
menangani persoalan tersebut. Dalam
konteks itu informasi adalah fakta tersirat yang muncul dalam benak
teknisi itu sesudah mencermati dan mengolahnya dengan tertib, berdasarkan model
yang diyakini sebagai hal yang benar ada dalam keseluruhan persoalan
tersebut.
Program adalah deretan
operasi yang sengaja ditulis untuk sebuah proses komputasi. Program adalah resep tentang bagaimana
komputasi itu harus dilaksanakan. Sebagai sebuah fakta tentang obyek komputasi,
program disimpan dalam memori komputer untuk dijalankan. -- Menjalankan komputer adalah membuat
komputer melaksanakan tiap operasi yang terdapat dalam program, satu demi satu,
dari operasi pertama, kedua, ..., dan seterusnya sampai dengan operasi yang
terakhir. Maka operasi sama dengan instruksi dan himpunan instruksi yang dimiliki atau
dikenal oleh komputer merupakan bahasa
komputer , karena dengan bahasa itu manusia dapat berkomunikasi dan
menyampaikan kehendaknya kepada komputer.
Informasi adalah fakta tersirat (dalam bentuk catatan atau tulisan) tentang obyek yang
dibicarakan. Disini (sekali lagi) sengaja digunakan istilah
"tersirat" (dan dipertentangkan dengan kata "tersurat")
untuk menegaskan bahwa informasi adalah fakta tersembunyi dibalik himpunan
fakta yang sudah dicatat, dan baru diketemukan sesudah diolah atau dicerna.
Maka informasi identik dengan data.
Perbedaan pokok adalah dalam hubungannya dengan pemakai data/informasi
tersebut. Data adalah mentah, karena hasih harus dicerna lagi, informasi
bersifat matang karena langsung dapat digunakan (misalnya untuk pengambilan
keputusan).
Dikaitkan dengan usaha untuk
menyelesaikan persoalan dalam y = f(x) tersebut diatas, dapat dikatakan bahwa y
adalah data, x adalah informasi yang diinginkan dan f-1(.) adalah program yang mengimplementasikan operasi
invers atas fungsi f(.).
Pada kesempatan ini patut
disinggung apakah sebenarnya kehebatan komputer itu? Karena kemampuan melakukan sebuah instruksi
difahami sebagai kemampuan untuk melakukan sebuah operasi atas memori, apa
hebatnya? Kehebatan komputer pada akhirnya hanya terletak dalam kemampuannya
untuk membedakan apakah yang tersimpan dalam alamat atau adres A dalam memori
adalah data untuk dioperasikan atau instruksi untuk dilaksanakan. Kehebatan komputer (sebagaimana sering
dilaporkan di berbagai media massa) hanya merupakan pencerminan dari kemampuan
manusia untuk mengkomunikasikan keinginannya dalam wujud program untuk
dilaksanakan oleh komputer tersebut.
0 komentar:
Posting Komentar