MATEMATIKA, KOMPUTASI DAN KOMPUTER


1.   Matematika : Apakah itu?

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.  Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.

Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah pernyataan adalah benar.  Dalam matematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja, bilangan.  Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer. 

Obyek menarik lain terdapat dalam geometri, misalnya titik, garis, bidang, serta bentuk yang dapat muncul daripadanya, seperti segitiga, lingkaran, elips, kubus, bola, kerucut, piramida, dan lain-lain. Sangatlah terkenal pernyataan Pythagoras, bahwa dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar pada hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah luas bujur sangkar kedua sisi lainnya.

Dalam studi tentang bentuk-bentuk dalam geometri, muncul secara alami konsep-konsep seperti panjang, luas, isi, berat dan titik berat.  Daripadanya berkembang konsep tentang satuan, besaran dan fungsi.

Obyek menarik lain bagi para matematikawan adalah himpunan, serta hubungan antara berbagai himpunan.  Studi mengenai hal ini telah menghasilkan aneka manfaat praktis, serta mengarahkan matematikawan kepada aneka persoalan sangat mendasar, bahkan sering bersifat abstrak, mengenai matematika serta pondasi yang diatasnya terdapat bangunan yang sekarang disebut matematika. Apapun  yang dipelajari dan dilakukan, semua kembali kepada usaha untuk membuat sekurang-kurangnya sebuah pernyataan yang dapat dipertanggung-jawabkan.

Pernyataan akan diterima sebagai pernyataan yang benar, jika kepadanya dapat diberikan (sekurang-kurangnya) sebuah bukti yang meyakinkan, yaitu argumentasi atau deretan kalimat yang rapi, runtut dan masuk akal, yang daripadanya tidak ada keragu-raguan lagi mengenai kebenaran dari teorema yang dibahas.

Pernyataan yang kebenarannya tidak pernah diragukan, namun tidak pernah diberikan buktinya, disebut aksioma. Pernyataan yang kebenarannya telah dijamin sekurang-kurangnya oleh sebuah bukti meyakinkan disebut teorema atau lemma.  Beda antara teorema dan lemma tidak perlu dibahas disini. Misalnya, pada bagian awal dari buku klasiknya yang berjudul “Grundlage der Geometrie”, David Hilbert menuliskan aksioma-aksioma tentang titik, garis dan bidang.  Dari aksioma-aksioma itu ia berhasil membuktikan semua teorema penting dalam geometri.  – Itulah contoh konkrit sebuah matematika.

Matematika dan logika.  Matematika biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan logika, yang merupakan cabang dari filsafat. Filsafat itu sendiri dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diterangkan sebagai “pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakekat segala yang ada, sebab, asal dan hukumnya” -- scientia rerum per causas ultimas.  Menurut Bertrand Russel, logika adalah masa kakak-kanak dari matematika.

Matematika dan fisika.  Matematika juga biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan fisika, yang masa kanak-kanaknya disebut kosmologi, yang merupakan cabang dari filsafat juga.  Dalam fisika dipelajari obyek alam (benda), dan atas obyek itu dicoba dibuat pernyataan-pernyataan yang benar, yang sekarang biasa disebut hukum-hukum alam atau hukum-hukum fisika.  (Dalam naskah ini kimia diperlakukan sebagai bagian yang tak terpisahkan dari fisika).

Adakah beda nyata antara teorema (dalam matematika) dan hukum (dalam fisika)?  Salah satu perbedaan adalah dalam pembuktian atas kebenarannya. Teorema dibuktikan melalui argumentasi, sedang hukum dalam fisika dibuktikan melalui eksperimen atau pengamatan. 

Perbedaan lain nyata dalam sifat penelitian yang dilakukan atas teorema dan hukum.  Hukum dikaji, dan dicoba dirumuskan kembali, dalam konteks gejala-gejala alam yang disadari, atau sekurang-kurangnya dicurigai, mengandung fakta baru, agar hukum dapat dirumuskan kembali menjadi bersifat mencakup fakta baru tersebut serta memiliki ciri universal, yaitu berlaku dimana saja dan kapan saja. Penelitian umumnya dikaji dalam pola pemikiran yang induktif.

Teorema pun dikaji dengan sasaran serupa. Tetapi teorema sering diungkapkan berdasarkan n buah asumsi: “jika n buah asumsi A1, A2, ... An ini benar, maka pernyataan P adalah benar”. Apakah cacah asumsi dapat dikurangi, sehingga dapat dirumuskan teorema tanpa asumsi (misalnya)?  Jika teorema bertolak dari sebuah asumsi yang sangat ketat, dapatkah asumsi yang ketat itu diperlunak, tanpa mengubah materi dalam teorema?  -- Penelitian umumnya bersifat kajian deduktif dan diarahkan kepada pembentukan sistem matematika yang utuh: logis, konsisten dan efisen (bermanfaat).

2.  Matematika : sarana pemodelan bagi para teknisi

Dalam naskah ini yang dimaksudkan dengan para teknisi adalah mereka yang hidup dengan melakukan kegiatan ada dalam bidang ilmu-ilmu teknik, yaitu mereka perhatiannya adalah kepada upaya penyelesaian atas persoalan-persoalan nyata dalam masyarakat.  Persoalan itu dapat berupa perencanaan bangunan gedung, atau pengadaan prasarana telekomunikasi yang menjangkau sejumlah penghuni dalam sebuah kawasan. Salah satu persoalan nyata dewasa ini adalah nilai rupiah. Langkah-langkah tepat apakah yang harus dilakukan agar ekonomi nasional tidak terperosok dalam krisis berkepanjangan? Tentulah ini persoalan bagi para teknisi di bidang ekonomi. Persoalan skala besar aktual lain dewasa ini adalah terbentuknya himpunan asap yang merisaukan di hampir sebagian besar kawasan hutan Sumatera dan Kalimantan, yang telah menimbulkan aneka masalah nyata di bidang kesehatan,  sosial, ekonomi, hukum, politik dalam negeri dan hubungan internasional.

Bagi teknisi di bidang tertentu (misal bidang penegakan hukum), matematika boleh jadi tidak jelas manfaatnya dalam upaya penyelesaian persoalan skala besar tersebut. Tetapi bagi teknisi di bidang lain (misal pengendalian menuju pelestarian kualitas lingkungan) matematika pasti ada manfaatnya.  Dalam hal terakhir ini, berlakulah diktum atau nasehat, bahwa “mathematics is a substitute to thinking”.  Matematika berperan sebagai pisau untuk membuat analisis yang tajam menuju kepada pemecahan persoalan yang diinginkan.  Dalam konteks itu, seperti diungkapkan oleh Profesor Adhi Susanto, matematika mengisi aspek analitika bidang ilmu-ilmu teknik.

Dihadapkan kepada persoalan nyata dalam masyarakat, apakah yang dapat dikerjakan oleh para teknisi?  Kiranya dapat dibayangkan bahwa para teknisi itu akan merumuskan model bagi persoalan yang akan dipecahkan.  Yang disebut model itu sesungguhnya juga berupa pernyataan tentang persoalan yang dihadapi. Hal itu dikerjakan, antara lain dengan mencermati lingkup persoalannya, membuat kategori berdasarkan bidang kajian dan ilmu, melakukan pemilahan atas variabel serta parameter mana yang primer dan mana yang sifatnya sekunder, serta menetapkan suatu model, yang dinilai memiliki cukup sederhana untuk analisis selanjutnya, tetapi sekaligus cukup realistis untuk menggambarkan keadaan dalam dunia nyata.  “Great engineering is simple engineering”.  Dalam seluruh proses pemodelan ini matematika (logika) membantu meratakan jalan bagi perumusan model yang diinginkan.

Ada tiga butir harus diperhatikan:
1.      hukum-hukum alam yang berlaku;
2.      informasi serta pengalaman di lapangan;
3.      sasaran akhir yang ingin dicapai.

Mengingat hukum-hukum alam umumnya diungkapkan dalam pernyataan yang bersifat pasti serta tak mengandung keragu-raguan akan sebab dan akibatnya, maka model yang diperoleh daripadanya juga bersifat deterministik.  Model ini sering berupa persamaan matematika yang dijabarkan dari azas-azas kekekalan energi, massa dan momentum. Model ini bersifat deterministik. Sebaliknya, ketidak-lengkapan informasi mengenai aspek-aspek tertentu dari realitas, atau tidak tersedianya rumusan yang memadai untuk menyatakan hukum alam yang berlaku bagi realitas tersebut sering mendorong pembentukan model yang bersifat non-deterministik.  Model jenis ini sering dikembangkan dengan menggunakan  konsep peluang atau probabilitas, namun tidak tertutup kemungkinan model itu semata-mata bersifat heuristik atau ad-hoc.

Model juga dapat diklasifikasikan sebagai berbasis persamaan, jika persamaan itu dijabarkan dari hukum-hukum alam, atau diperoleh dalam bentuk persamaan regresi yang diangkat dari pengamatan serta pengukuran intensif di lapangan. Model ini bersifat obyektif. Sebaliknya model diklasifikasikan sebagai berbasis informasi, jika dikembangkan melalui proses penalaran yang adaptif, menggunakan konsep jaringan syaraf tiruan serta memanfaatkan paradigma logika fuzi. Model berbasis informasi sering mengandung unsur-unsur yang sifatnya subyektif, sekurang-kurangnya sampai taraf tertentu, karena tergantung kepada kematangan wawasan serta pemikiran teknisi pengembang model.  Model jenis ini sekarang menjadi makin populer, antara lain karena sifatnya praktis, “the end justifies the means”.  Model berbasis persamaan untuk persoalan yang sama dapat tidak memiliki solusi atau memberi solusi yang tidak ada diterima (misalnya, seharusnya memberi jawab yang positif, tetapi angkanya ternyata negatif).

Selanjutnya dikenal pula model yang berbasis operasional.  Model jenis ini misalnya memanfaatkan paradigma antrian yang terdapat dalam aneka proses di alam dan dalam kegiatan sehari-hari.  Model berbasis operasional secara langsung atau tidak langsung memasukkan waktu sebagai unsur penting dalam pengkajian atas persoalan yang dihadapi. Dalam pelaksanaannya sering digunakan paradigma input-output serta konsep fungsi pemindah (“transfer function”). Secara singkat, model operasional berusaha mensimulasikan proses yang diperkirakan dapat terjadi.

Dilawankan kepada model operasional, dikenal pula model perencanaan, yang memanfaatkan paradigma optimisasi dalam penggunaan sumberdaya. Sasaran utama penyelesaian yang memiliki ciri unik dipandang dari segi kajian atas biaya dan manfaat.

Fakta sebenarnya:
1.      Model hanya mencerminkan akumulasi pengalaman si pengembang model akan persoalan yang dihadapi dalam konteks situasi dalam dunia nyata.  Dalam pengertian ini model hanya merupakan rumusan lain dari data serta informasi yang dimilikinya.
2.      Persoalan itu sendiri sering bersifat terbuka, dengan cacah jawaban, solusi atau penyelesaian dapat lebih dari satu, sekalipun solusi unik (satu dan hanya satu solusi) diinginkan.
3.      Model sering bersifat implisit, -- informasi tersembunyi dibalik relasi-relasi yang terdapat dalam model.  Diungkapkan dalam kalimat lain, dalam model yang telah dikembangkan, dapat saja informasi yang diinginkan tidak ada didalamnya.
4.      Oleh karena itu dalam memecahkan persoalan-persoalan nyata sering harus dilakukan proses iterasi, yaitu proses berulang dengan input sebuah siklus ditentukan oleh output siklus sebelumnya, sehingga pada akhirnya diperoleh model yang menjanjikan penyelesaian yang diinginkan.

3.  Komputasi : alat, metode dan teori

Komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Secara matematis pada umumnya model mengambil bentuk
f(x) = y,
dengan x = himpunan informasi yang tersembunyi dalam model, berupa besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan agar persoalan nyata dapat dipecahkan, y = himpunan data yang tersedia, berupa besaran-besaran yang nilainya telah diketahui, dan f(.) = operator matematis model tersebut.  Secara singkat dalam komputasi diberikan f(.) serta nilai numeris y, lakukanlah aktivitas untuk memperoleh nilai numeris x, agar f(x) = y dipenuhi.

Secara matematis, x diperoleh melalui operasi invers atas y.  Konkritnya,
x = f-1(y),
dengan f-1 operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f-1 diketahui atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.  Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak langsung.

Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.  Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasi untuk menyelesaikan suatu persoalan, seorang teknisi harus memperhatikan interaksi dari alat (komputer yang digunakan), metode (yaitu program yang dimiliki), dan sifat unik dari soal yang dihadapi, sebab dalam praktek soal-soal memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda:  ada soal yang relatif sangat gampang, ada yang sulit, tetapi juga ada soal yang sangat sulit.
Pertama tentang alat. Alat komputasi paling kuno adalah kertas, potlot dan karet penghapus. Alat komputasi yang lebih maju adalah kertas, potlot, karet penghapus dan mistar hitung,  Selanjutnya mistar hitung diganti dengan kalkulator (elektronis), yang dapat dibawa di dalam saku.  Alat komputasi yang modern adalah komputer, yang biasanya merupakan peralatan elektronis dengan berbagai kemampuan tertentu: (1) dapat melakukan operasi penyimpanan, karena dalam komputer ada memori; (2) dapat melakukan operasi-operasi tertentu atas yang disimpan dalam memori; (3) dapat menyajikan kembali isi memori itu dalam media penampil menurut format yang dikehendaki oleh pemakai. 

Itu adalah rumusan singkat tentang apa yang disebut komputer.  Beberapa hal masih harus ditambahkan agar sebuah gambaran yang utuh diperoleh. Dalam bidang komputer dikenal tiga serangkai data - program - informasi. Dalam bahasa sehari-hari data adalah fakta tersurat (dalam bentuk catatan atau tulisan) tentang suatu obyek. Dalam dunia komputer data adalah segala sesuatu yang dapat disimpan dalam memori menurut format tertentu, dan informasi adalah segala sesuatu yang ditampilkan oleh komputer dalam sebuah media penampil tersebut diatas, biasanya sebagai hasil dari sebuah proses komputasi.  Bagi teknisi yang berhadapan langsung dengan persoalan yang nyata, data menghadirkan fakta tersurat yang secara spesifik ada pada persoalan itu, dan yang secara khas terpancar sebagai isyarat sebagaimana diterima (ditangkap) oleh teknisi yang sedang menangani persoalan tersebut.  Dalam konteks itu informasi adalah fakta tersirat yang muncul dalam benak teknisi itu sesudah mencermati dan mengolahnya dengan tertib, berdasarkan model  yang diyakini sebagai hal yang benar ada dalam keseluruhan persoalan tersebut.

Program adalah deretan operasi yang sengaja ditulis untuk sebuah proses komputasi.  Program adalah resep tentang bagaimana komputasi itu harus dilaksanakan. Sebagai sebuah fakta tentang obyek komputasi, program disimpan dalam memori komputer untuk dijalankan.  -- Menjalankan komputer adalah membuat komputer melaksanakan tiap operasi yang terdapat dalam program, satu demi satu, dari operasi pertama, kedua, ..., dan seterusnya sampai dengan operasi yang terakhir. Maka operasi sama dengan instruksi  dan himpunan instruksi yang dimiliki atau dikenal oleh komputer merupakan bahasa komputer , karena dengan bahasa itu manusia dapat berkomunikasi dan menyampaikan kehendaknya kepada komputer.

Informasi  adalah fakta tersirat (dalam bentuk catatan atau tulisan) tentang obyek yang dibicarakan. Disini (sekali lagi) sengaja digunakan istilah "tersirat" (dan dipertentangkan dengan kata "tersurat") untuk menegaskan bahwa informasi adalah fakta tersembunyi dibalik himpunan fakta yang sudah dicatat, dan baru diketemukan sesudah diolah atau dicerna. Maka informasi identik dengan data.  Perbedaan pokok adalah dalam hubungannya dengan pemakai data/informasi tersebut. Data adalah mentah, karena hasih harus dicerna lagi, informasi bersifat matang karena langsung dapat digunakan (misalnya untuk pengambilan keputusan).

Dikaitkan dengan usaha untuk menyelesaikan persoalan dalam y = f(x) tersebut diatas, dapat dikatakan bahwa y adalah data, x adalah informasi yang diinginkan dan f-1(.) adalah program yang mengimplementasikan operasi invers atas fungsi f(.).

Pada kesempatan ini patut disinggung apakah sebenarnya kehebatan komputer itu?  Karena kemampuan melakukan sebuah instruksi difahami sebagai kemampuan untuk melakukan sebuah operasi atas memori, apa hebatnya? Kehebatan komputer pada akhirnya hanya terletak dalam kemampuannya untuk membedakan apakah yang tersimpan dalam alamat atau adres A dalam memori adalah data untuk dioperasikan atau instruksi untuk dilaksanakan.  Kehebatan komputer (sebagaimana sering dilaporkan di berbagai media massa) hanya merupakan pencerminan dari kemampuan manusia untuk mengkomunikasikan keinginannya dalam wujud program untuk dilaksanakan oleh komputer tersebut.

0 komentar:

Poskan Komentar